January 6th, 2012

Low-dimensional juggling

Некоторые офигенчики, о которых лучше помнить, если играешь в группы и маломерные гомотопии, они могут пригодиться буквенным жонглерам.

1. Конструкция Данвуди. Существует два 2-мерных комплекса, у которых фундаментальные группы - группы трилистника (или группы кос из трех нитей), которые гомотопически не эквивалентны, но их букеты с двумерными сферами гомотопически эквивалентны. Это следует из существования к.п.  проективных несвободных модулей над групповым кольцом группы трилистника (стабильно они свободны, само собой).

2. Группа Столлингса

G=
[Error: Irreparable invalid markup ('<a,b,c,d,e>') in entry. Owner must fix manually. Raw contents below.]

Некоторые офигенчики, о которых лучше помнить, если играешь в группы и маломерные гомотопии, они могут пригодиться буквенным жонглерам.

1. Конструкция Данвуди. Существует два 2-мерных комплекса, у которых фундаментальные группы - группы трилистника (или группы кос из трех нитей), которые гомотопически не эквивалентны, но их букеты с двумерными сферами гомотопически эквивалентны. Это следует из существования к.п.&nbsp; проективных несвободных модулей над групповым кольцом группы трилистника (стабильно они свободны, само собой).

2. Группа Столлингса

G=<a,b,c,d,e>

у нее третьи целочисленные гомологии бесконечномерны. Это пример конечно-представленной группы, для копредставления которой если сделать стандартный 2-комплекс, у него второй гомотопический модуль не будет конечно порожден, как модуль над групповым кольцом фундаментальной группы.

3. Конструкция Бествины-Брэди. Берем сначала флаговый комплекс K, строим по нему группу следующим образом. Порождающие - вершины этого комплекса, а соотношения - коммутирование тех порождающих, вершины которых соединены ребром. Дальше берем и строим эпиморфизм этой группы на Z, отправляя все порождающие группы в порождающий Z. Ядро этого эпиморфизма - группа Бествины-Брэди для комплекса K. Гомологические свойства группы Б-Б связаны с топологией комплекса K. Если К - это квадрат, с четырьмя вершинами и четырьмя ребрами, то его группа Б-Б - это группа, тоже рассматриваемая Столлингсом, она конечно-порождена, но не конечно-представима. И группы Б-Б, построенные по двумерному ацикличному флаговому комплексу с бинарной группой икосаэдра дают контрпример к гипотезе Эйленберга-Гани (когомологическая размерность&nbsp; не равна геометрической), при условии, что гипотеза асферичности Уайтхеда верна.

4. Группа Томпсона. <a,b>. Это конечно-представленная группа без кручения, у которой бесконечна когомологическая длина. Все целочисленные группы гомологий - свободные абелевы ранга 2.

5. В 4-х гомологиях свободной нильпотентной группы ступени 2 с 4-мя порождающими есть 3-кручение.

6. Элемент Канты Гупты. Во вторых гомологиях 4-порожденной свободной метабелевой группы есть 2-кручение.

7. Конструкция Кана-Терстона. Для любого связного комплекса найдется группа, у которой гомологии такие же, как у этого комплекса.

8. Конструкция Метцлера. Существует два гомотопически неэквивалентных двумерных комплекса с одинаковой эйлеровой характеристикой, и фундаментальными группами Z/5+Z/5+Z/5. </a,b></a,b,c,d,e>